გადაწყვიტეთ {l}{2x+6y=21}{9x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 21 } \\ { 9 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{41}{20} = 2\frac{1}{20} = 2.05$$

$$y = \frac{169}{60} = 2\frac{49}{60} \approx 2.816666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+6y=21$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-6y+21$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+21\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6y+21.

$$x=-3y+\frac{21}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -3y+\frac{21}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-3y=10.

$$9\left(-3y+\frac{21}{2}\right)-3y=10$$

გაამრავლეთ 9-ზე -3y+\frac{21}{2}.

$$-27y+\frac{189}{2}-3y=10$$

მიუმატეთ -27y -3y-ს.

$$-30y+\frac{189}{2}=10$$

გამოაკელით \frac{189}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-30y=-\frac{169}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -30-ზე.

$$y=\frac{169}{60}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{169}{60}-ით y აქ: x=-3y+\frac{21}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times \frac{169}{60}+\frac{21}{2}$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{169}{60}.

$$x=-\frac{169}{20}+\frac{21}{2}$$

მიუმატეთ \frac{21}{2} -\frac{169}{20}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{41}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-6\times 9}&-\frac{6}{2\left(-3\right)-6\times 9}\\-\frac{9}{2\left(-3\right)-6\times 9}&\frac{2}{2\left(-3\right)-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 21+\frac{1}{10}\times 10\\\frac{3}{20}\times 21-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{20}\\\frac{169}{60}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

იმისათვის, რომ 2x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$9\times 2x+9\times 6y=9\times 21,2\times 9x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$18x+54y=189,18x-6y=20$$

გამოაკელით 18x-6y=20 18x+54y=189-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+54y+6y=189-20$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$54y+6y=189-20$$

მიუმატეთ 54y 6y-ს.

$$60y=189-20$$

მიუმატეთ 189 -20-ს.

$$60y=169$$

ორივე მხარე გაყავით 60-ზე.

$$y=\frac{169}{60}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{169}{60}-ით y აქ: 9x-3y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-3\times \frac{169}{60}=10$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{169}{60}.

$$9x-\frac{169}{20}=10$$

მიუმატეთ \frac{169}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\frac{369}{20}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{41}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$