გადაწყვიტეთ {l}{2x+5y=11}{4x-3y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 11 } \\ { 4 x - 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+5y=11,4x-3y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+5y=11$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-5y+11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -5y+11.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-3y=-4.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}\right)-3y=-4$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-5y+11}{2}.

$$-10y+22-3y=-4$$

მიუმატეთ -10y -3y-ს.

$$-13y+22=-4$$

გამოაკელით 22 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-13y=-26$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{2}-ზე 2.

$$x=-5+\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} -5-ს.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+5y=11,4x-3y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}&\frac{5}{26}\\\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}\times 11+\frac{5}{26}\left(-4\right)\\\frac{2}{13}\times 11-\frac{1}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+5y=11,4x-3y=-4$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 11,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\left(-4\right)$$

გაამარტივეთ.

$$8x+20y=44,8x-6y=-8$$

გამოაკელით 8x-6y=-8 8x+20y=44-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+20y+6y=44+8$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y+6y=44+8$$

მიუმატეთ 20y 6y-ს.

$$26y=44+8$$

მიუმატეთ 44 8-ს.

$$26y=52$$

ორივე მხარე გაყავით 26-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 4x-3y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-3\times 2=-4$$

გაამრავლეთ -3-ზე 2.

$$4x-6=-4$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$