გადაწყვიტეთ {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{5}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+5y=-10$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-5y-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{2}-5-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

გაამრავლეთ \frac{7}{5}-ზე -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{2} y-ს.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{5}{2}y-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{2}-ზე -4.

$$x=10-5$$

მიუმატეთ -5 10-ს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{5}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{5}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

იმისათვის, რომ 2x და \frac{7x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{7}{5}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

გამოაკელით \frac{14}{5}x+2y=6 \frac{14}{5}x+7y=-14-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

მიუმატეთ \frac{14x}{5} -\frac{14x}{5}-ს. პირობები \frac{14x}{5} და -\frac{14x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y-2y=-14-6$$

მიუმატეთ 7y -2y-ს.

$$5y=-14-6$$

მიუმატეთ -14 -6-ს.

$$5y=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: \frac{7}{5}x+y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{5}x=7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-4$$