გადაწყვიტეთ {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+4y=10$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-4y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -4y+10.

$$x=-2y+5$$

ჩაანაცვლეთ -2y+5-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=7.

$$-2y+5-y=7$$

მიუმატეთ -2y -y-ს.

$$-3y+5=7$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=2$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით y აქ: x=-2y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+5$$

მიუმატეთ 5 \frac{4}{3}-ს.

$$x=\frac{19}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

გამოაკელით 2x-2y=14 2x+4y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+2y=10-14$$

მიუმატეთ 4y 2y-ს.

$$6y=10-14$$

მიუმატეთ 10 -14-ს.

$$6y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით y აქ: x-y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{19}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$