გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=9}{4x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{9}{10}=-0.9$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=9$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+9}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+y=0.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+y=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3y+9}{2}.

$$-6y+18+y=0$$

მიუმატეთ -6y y-ს.

$$-5y+18=0$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18}{5}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+\frac{9}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{18}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{27}{5}+\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} -\frac{27}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{9}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 9\\\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2y=0$$

გაამარტივეთ.

$$8x+12y=36,8x+2y=0$$

გამოაკელით 8x+2y=0 8x+12y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+12y-2y=36$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-2y=36$$

მიუმატეთ 12y -2y-ს.

$$10y=36$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18}{5}-ით y აქ: 4x+y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+\frac{18}{5}=0$$

გამოაკელით \frac{18}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-\frac{18}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-\frac{9}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$