გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=7}{6x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 6 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} = 1.4375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=7$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+7}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=10$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-3y+7}{2}.

$$-9y+21+y=10$$

მიუმატეთ -9y y-ს.

$$-8y+21=10$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8y=-11$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$y=\frac{11}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{8}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{11}{8} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{33}{16}+\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} -\frac{33}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{23}{16}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 7+\frac{3}{16}\times 10\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

იმისათვის, რომ 2x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 7,2\times 6x+2y=2\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$12x+18y=42,12x+2y=20$$

გამოაკელით 12x+2y=20 12x+18y=42-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+18y-2y=42-20$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18y-2y=42-20$$

მიუმატეთ 18y -2y-ს.

$$16y=42-20$$

მიუმატეთ 42 -20-ს.

$$16y=22$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=\frac{11}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{8}-ით y აქ: 6x+y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+\frac{11}{8}=10$$

გამოაკელით \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=\frac{69}{8}$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{23}{16}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$