გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=5}{7x=6-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{13}{19}\approx 0.684210526$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$7x+y=6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=5$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=6$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+y=6$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{2} y-ს.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

გამოაკელით \frac{35}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{23}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{19}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{23}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{23}{19}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{19}+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{23}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{69}{38}+\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{69}{38}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{13}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$7x+y=6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 7}&-\frac{3}{2-3\times 7}\\-\frac{7}{2-3\times 7}&\frac{2}{2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{7}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 5+\frac{3}{19}\times 6\\\frac{7}{19}\times 5-\frac{2}{19}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$7x+y=6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

იმისათვის, რომ 2x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2y=2\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$14x+21y=35,14x+2y=12$$

გამოაკელით 14x+2y=12 14x+21y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+21y-2y=35-12$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y-2y=35-12$$

მიუმატეთ 21y -2y-ს.

$$19y=35-12$$

მიუმატეთ 35 -12-ს.

$$19y=23$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=\frac{23}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{23}{19}-ით y აქ: 7x+y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+\frac{23}{19}=6$$

გამოაკელით \frac{23}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{91}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{13}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$