გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=5}{7x=4y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$7x-4y=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=5$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{2} -4y-ს.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

გამოაკელით \frac{35}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{29}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{39}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{39}{29}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{39}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{117}{58}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{14}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$7x-4y=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$7x-4y=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

იმისათვის, რომ 2x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

გამოაკელით 14x-8y=-4 14x+21y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y+8y=35+4$$

მიუმატეთ 21y 8y-ს.

$$29y=35+4$$

მიუმატეთ 35 4-ს.

$$29y=39$$

ორივე მხარე გაყავით 29-ზე.

$$y=\frac{39}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{39}{29}-ით y აქ: 7x-4y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{39}{29}.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

მიუმატეთ \frac{156}{29} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{98}{29}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{14}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$