გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=5}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=5$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3y=7.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=7$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3y+5}{2}.

$$-6y+10+3y=7$$

მიუმატეთ -6y 3y-ს.

$$-3y+10=7$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-3\times 4}&\frac{2}{2\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

გამოაკელით 4x+3y=7 2x+3y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-4x+3y-3y=5-7$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-4x=5-7$$

მიუმატეთ 2x -4x-ს.

$$-2x=5-7$$

მიუმატეთ 5 -7-ს.

$$-2x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: 4x+3y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$4+3y=7$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$