გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=2$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+1-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

მიუმატეთ -6y 16y-ს.

$$10y+4=3$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=-\frac{1}{10}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{10}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -\frac{1}{10} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

მიუმატეთ 1 \frac{3}{20}-ს.

$$x=\frac{23}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

გამოაკელით 8x+32y=6 8x+12y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-32y=8-6$$

მიუმატეთ 12y -32y-ს.

$$-20y=8-6$$

მიუმატეთ 8 -6-ს.

$$-20y=2$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=-\frac{1}{10}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{10}-ით y აქ: 4x+16y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

გაამრავლეთ 16-ზე -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

მიუმატეთ \frac{8}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{23}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{23}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$