გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=11}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=11$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+11.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=8.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=8$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-3y+11}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{33}{2}+2y=8$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{2} 2y-ს.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=8$$

გამოაკელით \frac{33}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{17}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{17}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{5}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{17}{5}+\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{17}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{51}{10}+\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} -\frac{51}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 11+\frac{3}{5}\times 8\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{17}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 11,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$6x+9y=33,6x+4y=16$$

გამოაკელით 6x+4y=16 6x+9y=33-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+9y-4y=33-16$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-4y=33-16$$

მიუმატეთ 9y -4y-ს.

$$5y=33-16$$

მიუმატეთ 33 -16-ს.

$$5y=17$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=\frac{17}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{5}-ით y აქ: 3x+2y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times \frac{17}{5}=8$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{17}{5}.

$$3x+\frac{34}{5}=8$$

გამოაკელით \frac{34}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{6}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$