გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=38$$

$$y=-22$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=10$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+5-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

მიუმატეთ -6y 5y-ს.

$$-y+20=42$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=22$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-22$$

ჩაანაცვლეთ -22-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -22.

$$x=33+5$$

მიუმატეთ 5 33-ს.

$$x=38$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=38,y=-22$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=38,y=-22$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

გაამარტივეთ.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

გამოაკელით 8x+10y=84 8x+12y=40-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-10y=40-84$$

მიუმატეთ 12y -10y-ს.

$$2y=40-84$$

მიუმატეთ 40 -84-ს.

$$2y=-44$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-22$$

ჩაანაცვლეთ -22-ით y აქ: 4x+5y=42. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

გაამრავლეთ 5-ზე -22.

$$4x-110=42$$

მიუმატეთ 110 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=152$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=38$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=38,y=-22$$