გადაწყვიტეთ {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+16y=22$$

გამოაკელით 16y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-16y+22$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -16y+22.

$$x=-8y+11$$

ჩაანაცვლეთ -8y+11-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

გაამრავლეთ 4-ზე -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

მიუმატეთ -32y 8y-ს.

$$-24y+44=20$$

გამოაკელით 44 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-24y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -24-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-8y+11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-8+11$$

მიუმატეთ 11 -8-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

გამოაკელით 8x+16y=40 8x+64y=88-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$64y-16y=88-40$$

მიუმატეთ 64y -16y-ს.

$$48y=88-40$$

მიუმატეთ 88 -40-ს.

$$48y=48$$

ორივე მხარე გაყავით 48-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 4x+8y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+8=20$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$