გადაწყვიტეთ {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა w, n-ისთვის

$$w=1050$$

$$n=2950$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი w-ისთვის, w-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2w+n=5050$$

გამოაკელით n განტოლების ორივე მხარეს.

$$2w=-n+5050$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{n}{2}+2525-ით w მეორე განტოლებაში, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

მიუმატეთ -\frac{3n}{2} 2n-ს.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

გამოაკელით 7575 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$n=2950$$

ჩაანაცვლეთ 2950-ით n აქ: w=-\frac{1}{2}n+2525. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 2950.

$$w=-1475+2525$$

მიუმატეთ 2525 -1475-ს.

$$w=1050$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=1050,n=2950$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - w და n.

$$w=1050,n=2950$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

იმისათვის, რომ 2w და 3w ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

გაამარტივეთ.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

გამოაკელით 6w+4n=18100 6w+3n=15150-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

მიუმატეთ 6w -6w-ს. პირობები 6w და -6w გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3n-4n=15150-18100$$

მიუმატეთ 3n -4n-ს.

$$-n=15150-18100$$

მიუმატეთ 15150 -18100-ს.

$$-n=-2950$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$n=2950$$

ჩაანაცვლეთ 2950-ით n აქ: 3w+2n=9050. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$3w+2\times 2950=9050$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2950.

$$3w+5900=9050$$

გამოაკელით 5900 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3w=3150$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$w=1050$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=1050,n=2950$$