გადაწყვიტეთ {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2m-3n=-1$$

მიუმატეთ 3n განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=3n-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3n-1.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3n-1}{2}-ით m მეორე განტოლებაში, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

მიუმატეთ \frac{3n}{2} n-ს.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=\frac{7}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{5}-ით n აქ: m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{7}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{21}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

იმისათვის, რომ 2m და m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

გამოაკელით 2m+2n=6 2m-3n=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

მიუმატეთ 2m -2m-ს. პირობები 2m და -2m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3n-2n=-1-6$$

მიუმატეთ -3n -2n-ს.

$$-5n=-1-6$$

მიუმატეთ -1 -6-ს.

$$-5n=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$n=\frac{7}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{5}-ით n აქ: m+n=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

გამოაკელით \frac{7}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$m=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$