გადაწყვიტეთ {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2bx+ay=2ab$$

გამოაკელით ay განტოლების ორივე მხარეს.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

ორივე მხარე გაყავით 2b-ზე.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2b}-ზე a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

ჩაანაცვლეთ a-\frac{ay}{2b}-ით x მეორე განტოლებაში, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

გაამრავლეთ b-ზე a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

მიუმატეთ -\frac{ay}{2} -ay-ს.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

გამოაკელით ba განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{3a}{2}-ზე.

$$y=-2b$$

ჩაანაცვლეთ -2b-ით y აქ: x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

გაამრავლეთ -\frac{a}{2b}-ზე -2b.

$$x=a+a$$

მიუმატეთ a a-ს.

$$x=2a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2a,y=-2b$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2a,y=-2b$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

იმისათვის, რომ 2bx და bx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2b-ზე.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

გაამარტივეთ.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

გამოაკელით 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} 2b^{2}x+aby=2ab^{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ 2b^{2}x -2b^{2}x-ს. პირობები 2b^{2}x და -2b^{2}x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ bay 2bay-ს.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ 2ab^{2} -8ab^{2}-ს.

$$3aby=-6ab^{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 3ba-ზე.

$$y=-2b$$

ჩაანაცვლეთ -2b-ით y აქ: bx+\left(-a\right)y=4ab. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

გაამრავლეთ -a-ზე -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

გამოაკელით 2ba განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=2ab$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=2a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2a,y=-2b$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2bx+ay=2ab$$

გამოაკელით ay განტოლების ორივე მხარეს.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

ორივე მხარე გაყავით 2b-ზე.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2b}-ზე a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

ჩაანაცვლეთ a-\frac{ay}{2b}-ით x მეორე განტოლებაში, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

გაამრავლეთ b-ზე a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

მიუმატეთ -\frac{ay}{2} -ay-ს.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

გამოაკელით ba განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{3a}{2}-ზე.

$$y=-2b$$

ჩაანაცვლეთ -2b-ით y აქ: x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

გაამრავლეთ -\frac{a}{2b}-ზე -2b.

$$x=a+a$$

მიუმატეთ a a-ს.

$$x=2a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2a,y=-2b$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2a,y=-2b$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

იმისათვის, რომ 2bx და bx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2b-ზე.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

გაამარტივეთ.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

გამოაკელით 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} 2b^{2}x+aby=2ab^{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ 2b^{2}x -2b^{2}x-ს. პირობები 2b^{2}x და -2b^{2}x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ bay 2bay-ს.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

მიუმატეთ 2ab^{2} -8ab^{2}-ს.

$$3aby=-6ab^{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 3ba-ზე.

$$y=-2b$$

ჩაანაცვლეთ -2b-ით y აქ: bx+\left(-a\right)y=4ab. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

გაამრავლეთ -a-ზე -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

გამოაკელით 2ba განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=2ab$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=2a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2a,y=-2b$$