გადაწყვიტეთ {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა X, Y-ისთვის

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 2, რათა მიიღოთ \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 8 Y-\frac{1}{2}-ზე.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 X+1-ზე.

$$8Y-4=9X+9-4$$

გამოაკელით 4 9-ს 5-ის მისაღებად.

$$8Y-4=9X+5$$

გამოაკელით 9X ორივე მხარეს.

$$8Y-4-9X=5$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$8Y-9X=5+4$$

შეკრიბეთ 5 და 4, რათა მიიღოთ 9.

$$8Y-9X=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი X-ისთვის, X-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

გამოაკელით 4Y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -2Y+\frac{5}{4}-ით X მეორე განტოლებაში, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

გაამრავლეთ -9-ზე -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

მიუმატეთ 18Y 8Y-ს.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

მიუმატეთ \frac{45}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 26-ზე.

$$Y=\frac{81}{104}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{81}{104}-ით Y აქ: X=-2Y+\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} -\frac{81}{52}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$X=-\frac{4}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 2, რათა მიიღოთ \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 8 Y-\frac{1}{2}-ზე.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 X+1-ზე.

$$8Y-4=9X+9-4$$

გამოაკელით 4 9-ს 5-ის მისაღებად.

$$8Y-4=9X+5$$

გამოაკელით 9X ორივე მხარეს.

$$8Y-4-9X=5$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$8Y-9X=5+4$$

შეკრიბეთ 5 და 4, რათა მიიღოთ 9.

$$8Y-9X=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - X და Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 2, რათა მიიღოთ \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 8 Y-\frac{1}{2}-ზე.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 X+1-ზე.

$$8Y-4=9X+9-4$$

გამოაკელით 4 9-ს 5-ის მისაღებად.

$$8Y-4=9X+5$$

გამოაკელით 9X ორივე მხარეს.

$$8Y-4-9X=5$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$8Y-9X=5+4$$

შეკრიბეთ 5 და 4, რათა მიიღოთ 9.

$$8Y-9X=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

იმისათვის, რომ 2X და -9X ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

გამოაკელით -18X+16Y=18 -18X-36Y=-\frac{45}{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

მიუმატეთ -18X 18X-ს. პირობები -18X და 18X გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

მიუმატეთ -36Y -16Y-ს.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

მიუმატეთ -\frac{45}{2} -18-ს.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -52-ზე.

$$Y=\frac{81}{104}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{81}{104}-ით Y აქ: -9X+8Y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

გამოაკელით \frac{81}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$X=-\frac{4}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$