გადაწყვიტეთ {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

გამოხატეთ \frac{\frac{1}{2}}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ ორივე მხარე 2-ზე, შექცეული სიდიდე \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

გადაამრავლეთ \frac{3}{2} და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2x+8y=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} 8y-ს.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{22}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{17}{44}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{44}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე \frac{17}{44} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

მიუმატეთ \frac{1}{12} -\frac{17}{132}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{1}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

გამოხატეთ \frac{\frac{1}{2}}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ ორივე მხარე 2-ზე, შექცეული სიდიდე \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

გადაამრავლეთ \frac{3}{2} და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2x+8y=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

გამოხატეთ \frac{\frac{1}{2}}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ ორივე მხარე 2-ზე, შექცეული სიდიდე \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

გადაამრავლეთ \frac{3}{2} და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2x+8y=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

გამოაკელით 6x+24y=9 6x+2y=\frac{1}{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

მიუმატეთ 2y -24y-ს.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -9-ს.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$y=\frac{17}{44}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{44}-ით y აქ: 2x+8y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

გამოაკელით \frac{34}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{1}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$