გადაწყვიტეთ {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=30$$

$$y=20$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4x=6y$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 6y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+12y=360.

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3y}{2}.

$$6y+12y=360$$

მიუმატეთ 6y 12y-ს.

$$18y=360$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$y=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე 20.

$$x=30$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=30,y=20$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4x=6y$$

გამოაკელით 6y ორივე მხარეს.

$$4x-6y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 6, რათა მიიღოთ 12.

$$4x+12y=360$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=30,y=20$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4x=6y$$

გამოაკელით 6y ორივე მხარეს.

$$4x-6y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 6, რათა მიიღოთ 12.

$$4x+12y=360$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

გამოაკელით 4x+12y=360 4x-6y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y-12y=-360$$

მიუმატეთ -6y -12y-ს.

$$-18y=-360$$

ორივე მხარე გაყავით -18-ზე.

$$y=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით y აქ: 4x+12y=360. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+12\times 20=360$$

გაამრავლეთ 12-ზე 20.

$$4x+240=360$$

გამოაკელით 240 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=120$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=30$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=30,y=20$$