გადაწყვიტეთ {l}{2lambda-3b=-12}{5lambda-8b=-40}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 \lambda - 3 b = - 12 } \\ { 5 \lambda - 8 b = - 40 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა λ, b-ისთვის

$$\lambda =24$$

$$b=20$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი \lambda -ისთვის, \lambda -ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2\lambda -3b=-12$$

მიუმატეთ 3b განტოლების ორივე მხარეს.

$$2\lambda =3b-12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\lambda =\frac{1}{2}\left(3b-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -12+3b.

$$\lambda =\frac{3}{2}b-6$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3b}{2}-6-ით \lambda მეორე განტოლებაში, 5\lambda -8b=-40.

$$5\left(\frac{3}{2}b-6\right)-8b=-40$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{3b}{2}-6.

$$\frac{15}{2}b-30-8b=-40$$

მიუმატეთ \frac{15b}{2} -8b-ს.

$$-\frac{1}{2}b-30=-40$$

მიუმატეთ 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{2}b=-10$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$b=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით b აქ: \lambda =\frac{3}{2}b-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ \lambda .

$$\lambda =\frac{3}{2}\times 20-6$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე 20.

$$\lambda =30-6$$

მიუმატეთ -6 30-ს.

$$\lambda =24$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$\lambda =24,b=20$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\left(-12\right)-3\left(-40\right)\\5\left(-12\right)-2\left(-40\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - \lambda და b.

$$\lambda =24,b=20$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

იმისათვის, რომ 2\lambda და 5\lambda ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$5\times 2\lambda +5\left(-3\right)b=5\left(-12\right),2\times 5\lambda +2\left(-8\right)b=2\left(-40\right)$$

გაამარტივეთ.

$$10\lambda -15b=-60,10\lambda -16b=-80$$

გამოაკელით 10\lambda -16b=-80 10\lambda -15b=-60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10\lambda -10\lambda -15b+16b=-60+80$$

მიუმატეთ 10\lambda -10\lambda -ს. პირობები 10\lambda და -10\lambda გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15b+16b=-60+80$$

მიუმატეთ -15b 16b-ს.

$$b=-60+80$$

მიუმატეთ -60 80-ს.

$$b=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით b აქ: 5\lambda -8b=-40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ \lambda .

$$5\lambda -8\times 20=-40$$

გაამრავლეთ -8-ზე 20.

$$5\lambda -160=-40$$

მიუმატეთ 160 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5\lambda =120$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\lambda =24$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$\lambda =24,b=20$$