გადაწყვიტეთ {l}{19x+3y=1}{19x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$19x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{19}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{19}-ით x მეორე განტოლებაში, 19x+4y=0.

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

გაამრავლეთ 19-ზე \frac{-3y+1}{19}.

$$-3y+1+4y=0$$

მიუმატეთ -3y 4y-ს.

$$y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{19}-ზე -1.

$$x=\frac{3+1}{19}$$

მიუმატეთ \frac{1}{19} \frac{3}{19}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{4}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

გამოაკელით 19x+4y=0 19x+3y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$19x-19x+3y-4y=1$$

მიუმატეთ 19x -19x-ს. პირობები 19x და -19x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-4y=1$$

მიუმატეთ 3y -4y-ს.

$$-y=1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 19x+4y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$19x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=\frac{4}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$