გადაწყვიტეთ {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$16x-10y=10$$

მიუმატეთ 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x=10y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{16}-ზე 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5+5y}{8}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

მიუმატეთ -5y -6y-ს.

$$-11y-5=6$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11y=11$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{8}-ზე -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

მიუმატეთ \frac{5}{8} -\frac{5}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

იმისათვის, რომ 16x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 16-ზე.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

გამოაკელით -128x-96y=96 -128x+80y=-80-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

მიუმატეთ -128x 128x-ს. პირობები -128x და 128x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$80y+96y=-80-96$$

მიუმატეთ 80y 96y-ს.

$$176y=-80-96$$

მიუმატეთ -80 -96-ს.

$$176y=-176$$

ორივე მხარე გაყავით 176-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: -8x-6y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

გაამრავლეთ -6-ზე -1.

$$-8x+6=6$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-1$$