გადაწყვიტეთ {l}{15x+15y=15}{17x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 15 y = 15 } \\ { 17 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$15x+15y=15$$

გამოაკელით 15y განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x=-15y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$x=\frac{1}{15}\left(-15y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{15}-ზე -15y+15.

$$x=-y+1$$

ჩაანაცვლეთ -y+1-ით x მეორე განტოლებაში, 17x+18y=19.

$$17\left(-y+1\right)+18y=19$$

გაამრავლეთ 17-ზე -y+1.

$$-17y+17+18y=19$$

მიუმატეთ -17y 18y-ს.

$$y+17=19$$

გამოაკელით 17 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2+1$$

მიუმატეთ 1 -2-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{15\times 18-15\times 17}&-\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\\-\frac{17}{15\times 18-15\times 17}&\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-1\\-\frac{17}{15}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 15-19\\-\frac{17}{15}\times 15+19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

იმისათვის, რომ 15x და 17x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 17-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 15-ზე.

$$17\times 15x+17\times 15y=17\times 15,15\times 17x+15\times 18y=15\times 19$$

გაამარტივეთ.

$$255x+255y=255,255x+270y=285$$

გამოაკელით 255x+270y=285 255x+255y=255-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$255x-255x+255y-270y=255-285$$

მიუმატეთ 255x -255x-ს. პირობები 255x და -255x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$255y-270y=255-285$$

მიუმატეთ 255y -270y-ს.

$$-15y=255-285$$

მიუმატეთ 255 -285-ს.

$$-15y=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 17x+18y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$17x+18\times 2=19$$

გაამრავლეთ 18-ზე 2.

$$17x+36=19$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$17x=-17$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$