გადაწყვიტეთ {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$15x+107y=1$$

გამოაკელით 107y განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x=-107y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{15}-ზე -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-107y+1}{15}-ით x მეორე განტოლებაში, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

გაამრავლეთ 71-ზე \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

მიუმატეთ -\frac{7597y}{15} 179y-ს.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

გამოაკელით \frac{71}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{4912}{15}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{547}{614}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{547}{614}-ით y აქ: x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

გაამრავლეთ -\frac{107}{15}-ზე \frac{547}{614} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

მიუმატეთ \frac{1}{15} -\frac{58529}{9210}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

იმისათვის, რომ 15x და 71x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 71-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 15-ზე.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

გაამარტივეთ.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

გამოაკელით 1065x+2685y=-4305 1065x+7597y=71-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

მიუმატეთ 1065x -1065x-ს. პირობები 1065x და -1065x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7597y-2685y=71+4305$$

მიუმატეთ 7597y -2685y-ს.

$$4912y=71+4305$$

მიუმატეთ 71 4305-ს.

$$4912y=4376$$

ორივე მხარე გაყავით 4912-ზე.

$$y=\frac{547}{614}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{547}{614}-ით y აქ: 71x+179y=-287. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

გაამრავლეთ 179-ზე \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

გამოაკელით \frac{97913}{614} განტოლების ორივე მხარეს.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

ორივე მხარე გაყავით 71-ზე.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$