გადაწყვიტეთ {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=-1$$

$$b=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$12a+4b=-4$$

გამოაკელით 4b განტოლების ორივე მხარეს.

$$12a=-4b-4$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{12}-ზე -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-b-1}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

მიუმატეთ -b -9b-ს.

$$-10b-1=-21$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10b=-20$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$b=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით b აქ: a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} -\frac{2}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-1,b=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-1,b=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

იმისათვის, რომ 12a და 3a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 12-ზე.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

გაამარტივეთ.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

გამოაკელით 36a-108b=-252 36a+12b=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

მიუმატეთ 36a -36a-ს. პირობები 36a და -36a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12b+108b=-12+252$$

მიუმატეთ 12b 108b-ს.

$$120b=-12+252$$

მიუმატეთ -12 252-ს.

$$120b=240$$

ორივე მხარე გაყავით 120-ზე.

$$b=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით b აქ: 3a-9b=-21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$3a-9\times 2=-21$$

გაამრავლეთ -9-ზე 2.

$$3a-18=-21$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-1,b=2$$