გადაწყვიტეთ {l}{11x+3y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{33}{74}\approx 0.445945946$$

$$y=\frac{27}{74}\approx 0.364864865$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$11x+3y=6$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=-3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{11}-ზე -3y+6.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+6}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, x+7y=3.

$$-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}+7y=3$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{11} 7y-ს.

$$\frac{74}{11}y+\frac{6}{11}=3$$

გამოაკელით \frac{6}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{74}{11}y=\frac{27}{11}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{74}{11}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{27}{74}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{27}{74}-ით y აქ: x=-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{11}\times \frac{27}{74}+\frac{6}{11}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{11}-ზე \frac{27}{74} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{81}{814}+\frac{6}{11}$$

მიუმატეთ \frac{6}{11} -\frac{81}{814}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{33}{74}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 6-\frac{3}{74}\times 3\\-\frac{1}{74}\times 6+\frac{11}{74}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{74}\\\frac{27}{74}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

იმისათვის, რომ 11x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე.

$$11x+3y=6,11x+11\times 7y=11\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$11x+3y=6,11x+77y=33$$

გამოაკელით 11x+77y=33 11x+3y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$11x-11x+3y-77y=6-33$$

მიუმატეთ 11x -11x-ს. პირობები 11x და -11x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-77y=6-33$$

მიუმატეთ 3y -77y-ს.

$$-74y=6-33$$

მიუმატეთ 6 -33-ს.

$$-74y=-27$$

ორივე მხარე გაყავით -74-ზე.

$$y=\frac{27}{74}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{27}{74}-ით y აქ: x+7y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+7\times \frac{27}{74}=3$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{27}{74}.

$$x+\frac{189}{74}=3$$

გამოაკელით \frac{189}{74} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{33}{74}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$