გადაწყვიტეთ {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10x+4y=-12$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-4y-12$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y-6}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

მიუმატეთ \frac{18y}{5} -5y-ს.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

გამოაკელით \frac{54}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{5}-ზე 7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{6}{5} -\frac{14}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

იმისათვის, რომ 10x და -9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

გაამარტივეთ.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

გამოაკელით -90x-50y=10 -90x-36y=108-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

მიუმატეთ -90x 90x-ს. პირობები -90x და 90x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-36y+50y=108-10$$

მიუმატეთ -36y 50y-ს.

$$14y=108-10$$

მიუმატეთ 108 -10-ს.

$$14y=98$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: -9x-5y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-9x-5\times 7=1$$

გაამრავლეთ -5-ზე 7.

$$-9x-35=1$$

მიუმატეთ 35 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=36$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=7$$