გადაწყვიტეთ {l}{10=30a+44b}{3=40a+55b}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 = 30 a + 44 b } \\ { 3 = 40 a + 55 b } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = -\frac{19}{5} = -3\frac{4}{5} = -3.8$$

$$b = \frac{31}{11} = 2\frac{9}{11} \approx 2.818181818$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$30a+44b=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$40a+55b=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$30a+44b=10$$

გამოაკელით 44b განტოლების ორივე მხარეს.

$$30a=-44b+10$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$a=\frac{1}{30}\left(-44b+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{30}-ზე -44b+10.

$$a=-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{22b}{15}+\frac{1}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 40a+55b=3.

$$40\left(-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3}\right)+55b=3$$

გაამრავლეთ 40-ზე -\frac{22b}{15}+\frac{1}{3}.

$$-\frac{176}{3}b+\frac{40}{3}+55b=3$$

მიუმატეთ -\frac{176b}{3} 55b-ს.

$$-\frac{11}{3}b+\frac{40}{3}=3$$

გამოაკელით \frac{40}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{11}{3}b=-\frac{31}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{31}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{11}-ით b აქ: a=-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{22}{15}\times \frac{31}{11}+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{22}{15}-ზე \frac{31}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=-\frac{62}{15}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{62}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=-\frac{19}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$30a+44b=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$40a+55b=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{30\times 55-44\times 40}&-\frac{44}{30\times 55-44\times 40}\\-\frac{40}{30\times 55-44\times 40}&\frac{30}{30\times 55-44\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 10+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{5}\\\frac{31}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$30a+44b=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$40a+55b=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

იმისათვის, რომ 30a და 40a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 40-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 30-ზე.

$$40\times 30a+40\times 44b=40\times 10,30\times 40a+30\times 55b=30\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$1200a+1760b=400,1200a+1650b=90$$

გამოაკელით 1200a+1650b=90 1200a+1760b=400-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1200a-1200a+1760b-1650b=400-90$$

მიუმატეთ 1200a -1200a-ს. პირობები 1200a და -1200a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$1760b-1650b=400-90$$

მიუმატეთ 1760b -1650b-ს.

$$110b=400-90$$

მიუმატეთ 400 -90-ს.

$$110b=310$$

ორივე მხარე გაყავით 110-ზე.

$$b=\frac{31}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{11}-ით b აქ: 40a+55b=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$40a+55\times \frac{31}{11}=3$$

გაამრავლეთ 55-ზე \frac{31}{11}.

$$40a+155=3$$

გამოაკელით 155 განტოლების ორივე მხარეს.

$$40a=-152$$

ორივე მხარე გაყავით 40-ზე.

$$a=-\frac{19}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$