გადაწყვიტეთ {l}{1.2x+0.3y=1.8}{2.8x-0.4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1.2 x + 0.3 y = 1.8 } \\ { 2.8 x - 0.4 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$1.2x+0.3y=1.8,2.8x-0.4y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$1.2x+0.3y=1.8$$

გამოაკელით \frac{3y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$1.2x=-0.3y+1.8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.2-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{5}{6}\left(-0.3y+1.8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{5}{6}-ზე -\frac{3y}{10}+1.8.

$$x=-0.25y+1.5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}+1.5-ით x მეორე განტოლებაში, 2.8x-0.4y=2.

$$2.8\left(-0.25y+1.5\right)-0.4y=2$$

გაამრავლეთ 2.8-ზე -\frac{y}{4}+1.5.

$$-0.7y+4.2-0.4y=2$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{10} -\frac{2y}{5}-ს.

$$-1.1y+4.2=2$$

გამოაკელით 4.2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-1.1y=-2.2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -1.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-0.25y+1.5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-0.25\times 2+1.5$$

გაამრავლეთ -0.25-ზე 2.

$$x=\frac{-1+3}{2}$$

მიუმატეთ 1.5 -0.5-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$1.2x+0.3y=1.8,2.8x-0.4y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&0.3\\2.8&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{1.2\left(-0.4\right)-0.3\times 2.8}&-\frac{0.3}{1.2\left(-0.4\right)-0.3\times 2.8}\\-\frac{2.8}{1.2\left(-0.4\right)-0.3\times 2.8}&\frac{1.2}{1.2\left(-0.4\right)-0.3\times 2.8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{33}&\frac{5}{22}\\\frac{70}{33}&-\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{33}\times 1.8+\frac{5}{22}\times 2\\\frac{70}{33}\times 1.8-\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$1.2x+0.3y=1.8,2.8x-0.4y=2$$

იმისათვის, რომ \frac{6x}{5} და \frac{14x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2.8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1.2-ზე.

$$2.8\times 1.2x+2.8\times 0.3y=2.8\times 1.8,1.2\times 2.8x+1.2\left(-0.4\right)y=1.2\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$3.36x+0.84y=5.04,3.36x-0.48y=2.4$$

გამოაკელით 3.36x-0.48y=2.4 3.36x+0.84y=5.04-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3.36x-3.36x+0.84y+0.48y=5.04-2.4$$

მიუმატეთ \frac{84x}{25} -\frac{84x}{25}-ს. პირობები \frac{84x}{25} და -\frac{84x}{25} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.84y+0.48y=5.04-2.4$$

მიუმატეთ \frac{21y}{25} \frac{12y}{25}-ს.

$$1.32y=5.04-2.4$$

მიუმატეთ 5.04 -2.4-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$1.32y=2.64$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.32-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 2.8x-0.4y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2.8x-0.4\times 2=2$$

გაამრავლეთ -0.4-ზე 2.

$$2.8x-0.8=2$$

მიუმატეთ 0.8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2.8x=2.8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 2.8-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$