გადაწყვიტეთ {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+4y=280$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4y+280$$

ჩაანაცვლეთ -4y+280-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

გაამრავლეთ 4-ზე -4y+280.

$$-16y+1120+y=124$$

მიუმატეთ -16y y-ს.

$$-15y+1120=124$$

გამოაკელით 1120 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=-996$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=\frac{332}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{332}{5}-ით y აქ: x=-4y+280. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{332}{5}.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

მიუმატეთ 280 -\frac{1328}{5}-ს.

$$x=\frac{72}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

გაამარტივეთ.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

გამოაკელით 4x+y=124 4x+16y=1120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$16y-y=1120-124$$

მიუმატეთ 16y -y-ს.

$$15y=1120-124$$

მიუმატეთ 1120 -124-ს.

$$15y=996$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$y=\frac{332}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{332}{5}-ით y აქ: 4x+y=124. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

გამოაკელით \frac{332}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{288}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{72}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$