გადაწყვიტეთ {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა c, V-ისთვის

$$c=9000$$

$$V=7500$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი c-ისთვის, c-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$c+V=16500$$

გამოაკელით V განტოლების ორივე მხარეს.

$$c=-V+16500$$

ჩაანაცვლეთ -V+16500-ით c მეორე განტოლებაში, 2c+3V=40500.

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

გაამრავლეთ 2-ზე -V+16500.

$$-2V+33000+3V=40500$$

მიუმატეთ -2V 3V-ს.

$$V+33000=40500$$

გამოაკელით 33000 განტოლების ორივე მხარეს.

$$V=7500$$

ჩაანაცვლეთ 7500-ით V აქ: c=-V+16500. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$c=-7500+16500$$

მიუმატეთ 16500 -7500-ს.

$$c=9000$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=9000,V=7500$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - c და V.

$$c=9000,V=7500$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

იმისათვის, რომ c და 2c ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

გაამარტივეთ.

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

გამოაკელით 2c+3V=40500 2c+2V=33000-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

მიუმატეთ 2c -2c-ს. პირობები 2c და -2c გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2V-3V=33000-40500$$

მიუმატეთ 2V -3V-ს.

$$-V=33000-40500$$

მიუმატეთ 33000 -40500-ს.

$$-V=-7500$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$V=7500$$

ჩაანაცვლეთ 7500-ით V აქ: 2c+3V=40500. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$2c+3\times 7500=40500$$

გაამრავლეთ 3-ზე 7500.

$$2c+22500=40500$$

გამოაკელით 22500 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2c=18000$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$c=9000$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=9000,V=7500$$