გადაწყვიტეთ {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.5x+y=9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.5x=-y+9$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+9.

$$x=-2y+18$$

ჩაანაცვლეთ -2y+18-ით x მეორე განტოლებაში, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

გაამრავლეთ 1.6-ზე -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

მიუმატეთ -\frac{16y}{5} \frac{y}{5}-ს.

$$-3y+28.8=13$$

გამოაკელით 28.8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-15.8$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=\frac{79}{15}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{79}{15}-ით y აქ: x=-2y+18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

მიუმატეთ 18 -\frac{158}{15}-ს.

$$x=\frac{112}{15}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{2} და \frac{8x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1.6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.5-ზე.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

გამოაკელით 0.8x+0.1y=6.5 0.8x+1.6y=14.4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

მიუმატეთ \frac{4x}{5} -\frac{4x}{5}-ს. პირობები \frac{4x}{5} და -\frac{4x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

მიუმატეთ \frac{8y}{5} -\frac{y}{10}-ს.

$$1.5y=14.4-6.5$$

მიუმატეთ 14.4 -6.5-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$1.5y=7.9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{79}{15}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{79}{15}-ით y აქ: 1.6x+0.2y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

გაამრავლეთ 0.2-ზე \frac{79}{15} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

გამოაკელით \frac{79}{75} განტოლების ორივე მხარეს.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.6-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{112}{15}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$