გადაწყვიტეთ {l}{0.4x+0.6y=-760}{-0.8x-0.3y=800}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = - 760 } \\ { - 0.8 x - 0.3 y = 800 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-700$$

$$y=-800$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.4x+0.6y=-760$$

გამოაკელით \frac{3y}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.4x=-0.6y-760$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.4-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2.5\left(-0.6y-760\right)$$

გაამრავლეთ 2.5-ზე -\frac{3y}{5}-760.

$$x=-1.5y-1900$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}-1900-ით x მეორე განტოლებაში, -0.8x-0.3y=800.

$$-0.8\left(-1.5y-1900\right)-0.3y=800$$

გაამრავლეთ -0.8-ზე -\frac{3y}{2}-1900.

$$1.2y+1520-0.3y=800$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} -\frac{3y}{10}-ს.

$$0.9y+1520=800$$

გამოაკელით 1520 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.9y=-720$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.9-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-800$$

ჩაანაცვლეთ -800-ით y აქ: x=-1.5y-1900. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-1.5\left(-800\right)-1900$$

გაამრავლეთ -1.5-ზე -800.

$$x=1200-1900$$

მიუმატეთ -1900 1200-ს.

$$x=-700$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-700,y=-800$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\\-\frac{-0.8}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\left(-760\right)-\frac{5}{3}\times 800\\\frac{20}{9}\left(-760\right)+\frac{10}{9}\times 800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-700\\-800\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-700,y=-800$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

იმისათვის, რომ \frac{2x}{5} და -\frac{4x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -0.8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.4-ზე.

$$-0.8\times 0.4x-0.8\times 0.6y=-0.8\left(-760\right),0.4\left(-0.8\right)x+0.4\left(-0.3\right)y=0.4\times 800$$

გაამარტივეთ.

$$-0.32x-0.48y=608,-0.32x-0.12y=320$$

გამოაკელით -0.32x-0.12y=320 -0.32x-0.48y=608-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-0.32x+0.32x-0.48y+0.12y=608-320$$

მიუმატეთ -\frac{8x}{25} \frac{8x}{25}-ს. პირობები -\frac{8x}{25} და \frac{8x}{25} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-0.48y+0.12y=608-320$$

მიუმატეთ -\frac{12y}{25} \frac{3y}{25}-ს.

$$-0.36y=608-320$$

მიუმატეთ 608 -320-ს.

$$-0.36y=288$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.36-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-800$$

ჩაანაცვლეთ -800-ით y აქ: -0.8x-0.3y=800. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-0.8x-0.3\left(-800\right)=800$$

გაამრავლეთ -0.3-ზე -800.

$$-0.8x+240=800$$

გამოაკელით 240 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.8x=560$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.8-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-700$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-700,y=-800$$