გადაწყვიტეთ {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

ამოხსნა b, c-ისთვის

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3+3b+c=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3b+c=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი b-ისთვის, b-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

გამოაკელით c განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -c-\frac{1}{3}.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ c+\frac{1}{3}-ით b მეორე განტოლებაში, 3b+c=-3.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

გაამრავლეთ 3-ზე c+\frac{1}{3}.

$$3c+1+c=-3$$

მიუმატეთ 3c c-ს.

$$4c+1=-3$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4c=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$c=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით c აქ: b=c+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -1-ს.

$$b=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3+3b+c=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3b+c=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - b და c.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3+3b+c=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3b+c=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

გამოაკელით 3b+c=-3 -b+c=-\frac{1}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

მიუმატეთ c -c-ს. პირობები c და -c გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

მიუმატეთ -b -3b-ს.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} 3-ს.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$b=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით b აქ: 3b+c=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{2}{3}.

$$-2+c=-3$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$c=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$