გადაწყვიტეთ {l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x-y=-2$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=y-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(y-2\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე y-2.

$$x=-y+2$$

ჩაანაცვლეთ -y+2-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-2y=-15.

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

გაამრავლეთ 9-ზე -y+2.

$$-9y+18-2y=-15$$

მიუმატეთ -9y -2y-ს.

$$-11y+18=-15$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11y=-33$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3+2$$

მიუმატეთ 2 -3-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

იმისათვის, რომ -x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

გამოაკელით -9x+2y=15 -9x-9y=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

მიუმატეთ -9x 9x-ს. პირობები -9x და 9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y-2y=-18-15$$

მიუმატეთ -9y -2y-ს.

$$-11y=-18-15$$

მიუმატეთ -18 -15-ს.

$$-11y=-33$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 9x-2y=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-2\times 3=-15$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$9x-6=-15$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=3$$