გადაწყვიტეთ {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=9$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x-3y=6$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე 6+3y.

$$x=-3y-6$$

ჩაანაცვლეთ -3y-6-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

მიუმატეთ -6y 3y-ს.

$$-3y-12=3$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: x=-3y-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

გაამრავლეთ -3-ზე -5.

$$x=15-6$$

მიუმატეთ -6 15-ს.

$$x=9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=9,y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=9,y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

იმისათვის, რომ -x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

გამოაკელით -2x-3y=-3 -2x-6y=12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y+3y=12+3$$

მიუმატეთ -6y 3y-ს.

$$-3y=12+3$$

მიუმატეთ 12 3-ს.

$$-3y=15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: 2x+3y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

გაამრავლეთ 3-ზე -5.

$$2x-15=3$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=9,y=-5$$