გადაწყვიტეთ {l}{-x-2y=4}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 4 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x-2y=4$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=2y+4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(2y+4\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე 4+2y.

$$x=-2y-4$$

ჩაანაცვლეთ -2y-4-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-y=2.

$$3\left(-2y-4\right)-y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე -2y-4.

$$-6y-12-y=2$$

მიუმატეთ -6y -y-ს.

$$-7y-12=2$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-2y-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-2\right)-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -2.

$$x=4-4$$

მიუმატეთ -4 4-ს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{3}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

იმისათვის, რომ -x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 4,-3x-\left(-y\right)=-2$$

გაამარტივეთ.

$$-3x-6y=12,-3x+y=-2$$

გამოაკელით -3x+y=-2 -3x-6y=12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x-6y-y=12+2$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y-y=12+2$$

მიუმატეთ -6y -y-ს.

$$-7y=12+2$$

მიუმატეთ 12 2-ს.

$$-7y=14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 3x-y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-\left(-2\right)=2$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$