გადაწყვიტეთ {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$2y-9x=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+y=2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-y+2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -y+2.

$$x=y-2$$

ჩაანაცვლეთ y-2-ით x მეორე განტოლებაში, -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

გაამრავლეთ -9-ზე y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

მიუმატეთ -9y 2y-ს.

$$-7y+18=9$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9}{7}-ით y აქ: x=y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{7}-ს.

$$x=-\frac{5}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$2y-9x=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$2y-9x=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

იმისათვის, რომ -x და -9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

გაამარტივეთ.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

გამოაკელით 9x-2y=-9 9x-9y=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

მიუმატეთ 9x -9x-ს. პირობები 9x და -9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y+2y=-18+9$$

მიუმატეთ -9y 2y-ს.

$$-7y=-18+9$$

მიუმატეთ -18 9-ს.

$$-7y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9}{7}-ით y აქ: -9x+2y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

გამოაკელით \frac{18}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-\frac{5}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$