გადაწყვიტეთ {l}{-x+6y=20}{-x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 6 y = 20 } \\ { - x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+6y=20$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-6y+20$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-6y+20\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -6y+20.

$$x=6y-20$$

ჩაანაცვლეთ 6y-20-ით x მეორე განტოლებაში, -x+3y=8.

$$-\left(6y-20\right)+3y=8$$

გაამრავლეთ -1-ზე 6y-20.

$$-6y+20+3y=8$$

მიუმატეთ -6y 3y-ს.

$$-3y+20=8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=6y-20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=6\times 4-20$$

გაამრავლეთ 6-ზე 4.

$$x=24-20$$

მიუმატეთ -20 24-ს.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-3-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{1}{-3-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20-2\times 8\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

გამოაკელით -x+3y=8 -x+6y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x+6y-3y=20-8$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-3y=20-8$$

მიუმატეთ 6y -3y-ს.

$$3y=20-8$$

მიუმატეთ 20 -8-ს.

$$3y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: -x+3y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+3\times 4=8$$

გაამრავლეთ 3-ზე 4.

$$-x+12=8$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$