გადაწყვიტეთ {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-9$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+2y=17$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-2y+17$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -2y+17.

$$x=2y-17$$

ჩაანაცვლეთ 2y-17-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+2y=-10.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

მიუმატეთ 4y 2y-ს.

$$6y-34=-10$$

მიუმატეთ 34 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=24$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=2y-17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\times 4-17$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=8-17$$

მიუმატეთ -17 8-ს.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-9,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

გამოაკელით 2x+2y=-10 -x+2y=17-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-x-2x=17+10$$

მიუმატეთ -x -2x-ს.

$$-3x=17+10$$

მიუმატეთ 17 10-ს.

$$-3x=27$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით x აქ: 2x+2y=-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$-18+2y=-10$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=4$$