გადაწყვიტეთ {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-9x-y=-3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=y-3$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{9}-ზე y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

გაამრავლეთ -8-ზე -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

მიუმატეთ \frac{8y}{9} 2y-ს.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{26}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{9}-ზე -6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{2}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

იმისათვის, რომ -9x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

გაამარტივეთ.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

გამოაკელით 72x-18y=180 72x+8y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

მიუმატეთ 72x -72x-ს. პირობები 72x და -72x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y+18y=24-180$$

მიუმატეთ 8y 18y-ს.

$$26y=24-180$$

მიუმატეთ 24 -180-ს.

$$26y=-156$$

ორივე მხარე გაყავით 26-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: -8x+2y=-20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

გაამრავლეთ 2-ზე -6.

$$-8x-12=-20$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-6$$