გადაწყვიტეთ {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-9x-7y=17$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=7y+17$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{9}-ზე 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y-17}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

გაამრავლეთ 10-ზე \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

მიუმატეთ -\frac{70y}{9} 7y-ს.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

მიუმატეთ \frac{170}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{9}-ზე -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{17}{9} \frac{35}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

იმისათვის, რომ -9x და 10x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

გამოაკელით -90x-63y=135 -90x-70y=170-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

მიუმატეთ -90x 90x-ს. პირობები -90x და 90x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-70y+63y=170-135$$

მიუმატეთ -70y 63y-ს.

$$-7y=170-135$$

მიუმატეთ 170 -135-ს.

$$-7y=35$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: 10x+7y=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

გაამრავლეთ 7-ზე -5.

$$10x-35=-15$$

მიუმატეთ 35 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-5$$