გადაწყვიტეთ {l}{-6x+4y=8}{x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 4 y = 8 } \\ { x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-6x+4y=8,x+7y=14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-6x+4y=8$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-6x=-4y+8$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y+8\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{6}-ზე -4y+8.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4+2y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x+7y=14.

$$\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}+7y=14$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} 7y-ს.

$$\frac{23}{3}y-\frac{4}{3}=14$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{3}y=\frac{46}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 2.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{3} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-6x+4y=8,x+7y=14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-6\times 7-4}&-\frac{4}{-6\times 7-4}\\-\frac{1}{-6\times 7-4}&-\frac{6}{-6\times 7-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&\frac{2}{23}\\\frac{1}{46}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 8+\frac{2}{23}\times 14\\\frac{1}{46}\times 8+\frac{3}{23}\times 14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-6x+4y=8,x+7y=14$$

იმისათვის, რომ -6x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -6-ზე.

$$-6x+4y=8,-6x-6\times 7y=-6\times 14$$

გაამარტივეთ.

$$-6x+4y=8,-6x-42y=-84$$

გამოაკელით -6x-42y=-84 -6x+4y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x+4y+42y=8+84$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+42y=8+84$$

მიუმატეთ 4y 42y-ს.

$$46y=8+84$$

მიუმატეთ 8 84-ს.

$$46y=92$$

ორივე მხარე გაყავით 46-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x+7y=14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+7\times 2=14$$

გაამრავლეთ 7-ზე 2.

$$x+14=14$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$