გადაწყვიტეთ {l}{-5x+2y=9}{3x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5x+2y=9$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-2y+9$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+9\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -2y+9.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y-9}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+5y=7.

$$3\left(\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)+5y=7$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{2y-9}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}+5y=7$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} 5y-ს.

$$\frac{31}{5}y-\frac{27}{5}=7$$

მიუმატეთ \frac{27}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{31}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{5}-ზე 2.

$$x=\frac{4-9}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{5} \frac{4}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{-5\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}\times 9+\frac{2}{31}\times 7\\\frac{3}{31}\times 9+\frac{5}{31}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

იმისათვის, რომ -5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე.

$$3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\times 9,-5\times 3x-5\times 5y=-5\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$-15x+6y=27,-15x-25y=-35$$

გამოაკელით -15x-25y=-35 -15x+6y=27-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x+6y+25y=27+35$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+25y=27+35$$

მიუმატეთ 6y 25y-ს.

$$31y=27+35$$

მიუმატეთ 27 35-ს.

$$31y=62$$

ორივე მხარე გაყავით 31-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 3x+5y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+5\times 2=7$$

გაამრავლეთ 5-ზე 2.

$$3x+10=7$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$