გადაწყვიტეთ {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5x+13y=-7$$

გამოაკელით 13y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-13y-7$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -13y-7.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13y+7}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+4y=24.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{13y+7}{5}.

$$13y+7+4y=24$$

მიუმატეთ 13y 4y-ს.

$$17y+7=24$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$17y=17$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} \frac{13}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

იმისათვის, რომ -5x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

გაამარტივეთ.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

გამოაკელით -25x-20y=-120 -25x+65y=-35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

მიუმატეთ -25x 25x-ს. პირობები -25x და 25x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$65y+20y=-35+120$$

მიუმატეთ 65y 20y-ს.

$$85y=-35+120$$

მიუმატეთ -35 120-ს.

$$85y=85$$

ორივე მხარე გაყავით 85-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 5x+4y=24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+4=24$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=1$$