გადაწყვიტეთ {l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5x+10y=15$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-10y+15$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -10y+15.

$$x=2y-3$$

ჩაანაცვლეთ 2y-3-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+2y=-1.

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

გაამრავლეთ -5-ზე 2y-3.

$$-10y+15+2y=-1$$

მიუმატეთ -10y 2y-ს.

$$-8y+15=-1$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8y=-16$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=2y-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\times 2-3$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=4-3$$

მიუმატეთ -3 4-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

გამოაკელით -5x+2y=-1 -5x+10y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-2y=15+1$$

მიუმატეთ 10y -2y-ს.

$$8y=15+1$$

მიუმატეთ 15 1-ს.

$$8y=16$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: -5x+2y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x+2\times 2=-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$-5x+4=-1$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$