გადაწყვიტეთ {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x-y-ზე.

$$-5x+5y+3y=2x$$

დააჯგუფეთ 5y და 3y, რათა მიიღოთ 8y.

$$-5x+8y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-5x+8y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. 6x+7-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2y-6x-7=-2$$

დაამატეთ 7 ორივე მხარეს.

$$2y-6x=-2+7$$

შეკრიბეთ -2 და 7, რათა მიიღოთ 5.

$$2y-6x=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-7x+8y=0$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-8y$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე -8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

გაამრავლეთ -6-ზე \frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

მიუმატეთ -\frac{48y}{7} 2y-ს.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{34}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{35}{34}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{35}{34}-ით y აქ: x=\frac{8}{7}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{8}{7}-ზე -\frac{35}{34} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{20}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x-y-ზე.

$$-5x+5y+3y=2x$$

დააჯგუფეთ 5y და 3y, რათა მიიღოთ 8y.

$$-5x+8y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-5x+8y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. 6x+7-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2y-6x-7=-2$$

დაამატეთ 7 ორივე მხარეს.

$$2y-6x=-2+7$$

შეკრიბეთ -2 და 7, რათა მიიღოთ 5.

$$2y-6x=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x-y-ზე.

$$-5x+5y+3y=2x$$

დააჯგუფეთ 5y და 3y, რათა მიიღოთ 8y.

$$-5x+8y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-5x+8y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და -2x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. 6x+7-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2y-6x-7=-2$$

დაამატეთ 7 ორივე მხარეს.

$$2y-6x=-2+7$$

შეკრიბეთ -2 და 7, რათა მიიღოთ 5.

$$2y-6x=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

იმისათვის, რომ -7x და -6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

გამოაკელით 42x-14y=-35 42x-48y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

მიუმატეთ 42x -42x-ს. პირობები 42x და -42x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-48y+14y=35$$

მიუმატეთ -48y 14y-ს.

$$-34y=35$$

ორივე მხარე გაყავით -34-ზე.

$$y=-\frac{35}{34}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{35}{34}-ით y აქ: -6x+2y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

მიუმატეთ \frac{35}{17} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$x=-\frac{20}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$