გადაწყვიტეთ {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=10$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-4x-10y=20$$

მიუმატეთ 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=10y+20$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{2}-5-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

მიუმატეთ -20y 10y-ს.

$$-10y-40=20$$

მიუმატეთ 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10y=60$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: x=-\frac{5}{2}y-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{2}-ზე -6.

$$x=15-5$$

მიუმატეთ -5 15-ს.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=10,y=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

იმისათვის, რომ -4x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

გამოაკელით -32x-40y=-80 -32x-80y=160-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

მიუმატეთ -32x 32x-ს. პირობები -32x და 32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-80y+40y=160+80$$

მიუმატეთ -80y 40y-ს.

$$-40y=160+80$$

მიუმატეთ 160 80-ს.

$$-40y=240$$

ორივე მხარე გაყავით -40-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: 8x+10y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

გაამრავლეთ 10-ზე -6.

$$8x-60=20$$

მიუმატეთ 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=80$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=-6$$