გადაწყვიტეთ {l}{-4x+y=1}{-8x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 1 } \\ { - 8 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-4x+y=1$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=-y+1$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+1\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -y+1.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-1+y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x-y=11.

$$-8\left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)-y=11$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{-1+y}{4}.

$$-2y+2-y=11$$

მიუმატეთ -2y -y-ს.

$$-3y+2=11$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=9$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)-\frac{1}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3.

$$x=\frac{-3-1}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} -\frac{3}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

იმისათვის, რომ -4x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე.

$$-8\left(-4\right)x-8y=-8,-4\left(-8\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$32x-8y=-8,32x+4y=-44$$

გამოაკელით 32x+4y=-44 32x-8y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32x-32x-8y-4y=-8+44$$

მიუმატეთ 32x -32x-ს. პირობები 32x და -32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y-4y=-8+44$$

მიუმატეთ -8y -4y-ს.

$$-12y=-8+44$$

მიუმატეთ -8 44-ს.

$$-12y=36$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: -8x-y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x-\left(-3\right)=11$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-3$$