გადაწყვიტეთ {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3x-5y=17$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=5y+17$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 5y+17.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y-17}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+6y=14.

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{-5y-17}{3}.

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

მიუმატეთ \frac{25y}{3} 6y-ს.

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

გამოაკელით \frac{85}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{43}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე -1.

$$x=\frac{5-17}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{17}{3} \frac{5}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

იმისათვის, რომ -3x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

გაამარტივეთ.

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

გამოაკელით 15x-18y=-42 15x+25y=-85-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$25y+18y=-85+42$$

მიუმატეთ 25y 18y-ს.

$$43y=-85+42$$

მიუმატეთ -85 42-ს.

$$43y=-43$$

ორივე მხარე გაყავით 43-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: -5x+6y=14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

გაამრავლეთ 6-ზე -1.

$$-5x-6=14$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=20$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-1$$